クォータニオン(四元数)は1843年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって考案され、アイルランドのダブリンにあるブルーム橋にはクォータニオンを記念する盾があるようです。クォータニオンを使うと簡単に物体を回転させることが出来ます。ここではクォータニオンを使った物体の回転方法について説明します。
図1のように点Pを原点回りに回転角θだけ回転させる場合を考えます。計算には、回転させる座標、回転角、回転軸ベクトル(原点を中心とする軸ベクトル)の３つの情報が必要です。
図1 軸周りの回転
(1) クォータニオンの作成
クォータニオンのq0、q1、q2、q3を求めます。q0～q3は回転軸ベクトルnと回転角θを用いてそれぞれ以下のように計算されます。
(2) クォータニオンを用いた回転行列の作成
回転行列Rは以下のように計算されます。
(3) 回転後の座標P’を算出
最後に回転後の座標P’を求めます。点P(x,y,z)、点P'(x’,y’,z’)とすると点P’は以下のように計算されます。
このようにクォータニオンを使うと簡単に座標を回転させることができます。
下の動画はクォータニオンを使い富士山の形状(STLデータ)を任意の回転軸に対して回転させたものです。